Comment créer un joint Apollonien: 10 étapes (avec des images)

Un joint Apollonien est un type de fractal image qui est formée à partir d`une collection de cercles toujours rétrécissants contenus dans un seul grand cercle. Chaque cercle dans le joint Apollonien est tangente aux cercles adjacents - en d`autres termes, les cercles du joint Apollonien font de contact avec des points infiniment petits. Nommé pour l`Apollonius mathématicien grec de Perga, ce type de fractal peut être dessiné (à la main ou par ordinateur) à un degré raisonnable de complexité, formant une belle image frappante. Voir l`étape 1 ci-dessous pour commencer.

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Partie 1 de 2:

Comprendre les concepts clés

Être parfaitement clair, si vous êtes simplement intéressé par dessin un joint Apollonien, il n`est pas essentiel de rechercher les principes de mathématiques derrière la fractale. Cependant, si vous souhaitez une compréhension plus profonde des joints Apolloniens, il est important de comprendre les définitions de plusieurs concepts que nous allons utiliser lors de leur discussion.

1. Définir les termes clés. Les termes suivants sont utilisés dans les instructions ci-dessous:

Joint Apollonien: l`un des noms de plusieurs noms pour un type de fractal composé d`une série de cercles imbriqués à l`intérieur d`un grand cercle et tangent à tous les autres à proximité. Celles-ci sont également appelées "Cercles de soddy" ou alors "Baiser des cercles".
Rayon d`un cercle: la distance du point central d`un cercle à son bord. Généralement attribué la variable r.
Courbure d`un cercle: l`inverse positive ou négative du rayon, ou ± 1 / r. La courbure est positive lorsqu`il s`agit de la courbure externe du cercle et du négatif pour la courbure intérieure.
Tangent: terme appliqué aux lignes, avions et formes qui se croisent à un point infiniment petit. Dans les joints Apolloniens, cela fait référence au fait que chaque cercle touche chaque cercle à proximité à un seul point. Notez qu`il n`y a pas d`intersection - des formes tangentes ne se chevauchent pas.

Image intitulée Créer un joint Apollonien Étape 2

2. Comprendre le théorème de Descartes.Le théorème de Descartes est une formule utile pour calculer la taille des cercles d`un joint apollonien. Si nous définissons les courbatures (1 / r) de trois cercles comme une, b, et c, respectivement, le théorème indique que la courbure du cercle (ou cercles) tangente aux trois, que nous allons définir comme ré, est: D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A))).

Pour nos besoins, nous n`utiliserons généralement que la réponse que nous obtenue en mettant un signe plus devant la racine carrée (en d`autres termes, ... + 2 (SQRT (...))). Pour l`instant, il suffit de savoir que la forme de soustraction de l`équation a ses utilisations dans d`autres tâches connexes.

Partie 2 de 2:

Construire le joint Apollonien

Les joints Apolloniens prennent la forme de beaux arrangements fractales de cercles rétrécissants. Mathématiquement, les joints Apolloniens ont une complexité infinie, mais que vous utilisiez un programme de dessin informatique ou des outils de dessin traditionnels, vous atteignez éventuellement un point sur lequel il est impossible de dessiner des cercles plus petits. Notez que plus précisément vous dessinez vos cercles, plus vous serez capable de vous installer dans votre joint.

1. Rassemblez vos outils de dessin numérique ou analogique. Dans les étapes ci-dessous, nous ferons notre propre joint apollonien simple. Il est possible de dessiner des joints apolloniens à la main ou sur l`ordinateur. Dans les deux cas, vous voudrez pouvoir dessiner des cercles parfaitement ronds. C`est assez important. Étant donné que chaque cercle d`un joint apollonien est parfaitement tangent aux cercles à côté de celui-ci, les cercles qui sont même légèrement misshapen peuvent "jeter" votre produit final.

Si vous dessinez le joint d`étanchéité sur un ordinateur, vous aurez besoin d`un programme qui vous permet de dessiner facilement des cercles d`un rayon fixe d`un point central. GFIG, une extension de dessin vectoriel pour le programme d`édition d`image gratuite GIMP, peut être utilisée, de même qu`une grande variété d`autres programmes de dessin (voir la section Matériaux pour des liens pertinents). Vous aurez également besoin d`une application de calculatrice et d`un document de traitement de texte ou d`un bloc-notes physique pour prendre des notes sur les courbures et les radii.
Pour dessiner le joint à la main, vous aurez besoin d`une calculatrice (scientifique ou graphique suggérée), un crayon, une boussole, une règle (de préférence une échelle avec des marquages millimétriques, du papier graphique et un bloc-notes pour la prise de note.

Image intitulée Créer un joint Apollonien Étape 4

2. Commencez par un grand cercle. Votre première tâche est facile - tirez simplement un gros cercle parfaitement rond. Plus le cercle est grand, plus votre joint est complexe peut être complexe, alors essayez de faire un cercle aussi grand que votre papier permet ou aussi grand que possible dans une fenêtre de votre programme de dessin.

Image intitulée Créer un joint Apollonien Étape 5

3. Créez un cercle plus petit à l`intérieur de l`original, tangent d`un côté. Ensuite, tirez un autre cercle à l`intérieur du premier plus petit que l`original, mais toujours assez grand. La taille exacte du deuxième cercle est à vous - il n`y a pas de taille correcte. Cependant, pour nos besoins, tirons notre deuxième cercle de sorte qu`il atteigne exactement à mi-chemin sur notre grand cercle extérieur. En d`autres termes, dessinons notre deuxième cercle de sorte que son point central soit le milieu du rayon du grand cercle.

N`oubliez pas que dans les joints Apolloniens, tous les cercles qui touchent sont tangentes les uns aux autres. Si vous utilisez une boussole pour dessiner vos cercles à la main, recréez cet effet en mettant le point pointu de la boussole sur le point médian du grand rayon du cercle extérieur, ajustant votre crayon de sorte qu`il juste touche le bord du grand cercle, puis en train de dessiner votre plus petit cercle intérieur.

Image intitulée Créer un joint Apollonien Étape 6

4. Dessiner un cercle identique "en face de" le plus petit cercle intérieur. Ensuite, tirons un autre cercle en face de notre premier. Ce cercle doit être tangent à la fois au grand cercle extérieur et au cercle interne plus petit, ce qui signifie que vos deux cercles internes toucheront au milieu du grand cercle extérieur.

Image intitulée Créer un joint Apollonien Step 7

5. Appliquez le théorème de Descartes pour trouver la taille de vos prochains cercles. Arrêtons d`arrêter de dessiner un instant. Maintenant que nous avons trois cercles dans notre joint, nous pouvons utiliser le théorème de Descartes pour trouver le rayon du prochain entourier. N`oubliez pas que le théorème de Descartes est D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A))), où A, B et C sont les courbures de vos trois cercles tangents et D est la courbure du cercle tangent aux trois. Donc, pour trouver le rayon de notre prochain cercle, trouvons la courbure de chacun des cercles que nous avons jusqu`à présent afin que nous puissions trouver la courbure du cercle suivant, puis convertir ceci à son rayon.

Définissons le rayon de notre cercle extérieur comme 1. Parce que les autres cercles sont à l`intérieur de celui-ci, nous avons affaire à son intérieur courbure (plutôt que sa courbure extérieure), et par conséquent, nous savons que sa courbure est négative. - 1 / r = -1/1 = -1. La courbure du grand cercle est -1.

Les rayons des plus petits cercles sont à moitié aussi grande que le grand cercle, ou, en d`autres termes, 1/2. Puisque ces cercles se touchent et le grand cercle avec leur bord extérieur, nous traitons avec leur extérieur courbure, de sorte que leurs courbatures sont positives. 1 / (1/2) = 2. Les courbures des plus petits cercles sont à la fois 2.

Nous savons maintenant que A = -1, B = 2 et C = 2 pour l`équation de notre théorème de Descartes. Soyons pour D:

D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A)))

D = -1 + 2 + 2 ± 2 (SQRT (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))

D = -1 + 2 + 2 ± 2 (SQRT (-2 + 4 + -2))

D = -1 + 2 + 2 ± 0

D = -1 + 2 + 2

d = 3. La courbure de notre prochain cercle est 3. Depuis 3 = 1 / r, le rayon de notre prochain cercle est 1/3.

Image intitulée Créer un joint Apollonien Étape 8

6. Créez votre prochain ensemble de cercles. Utilisez la valeur de rayon que vous venez de trouver vos deux prochains cercles. N`oubliez pas que ceux-ci seront tangentes aux cercles dont vous avez utilisé les courbures que vous avez utilisées pour A, B et C dans le théorème de Descartes. En d`autres termes, ils seront tangents à la fois pour les originaux et les deuxième cercles. Pour que ces cercles soient tangents aux trois cercles, vous devrez les dessiner dans les espaces ouverts en haut et en bas de la zone à l`intérieur de votre grand cercle d`origine.

N`oubliez pas que les rayons de ces cercles seront égaux à 1/3. Mesurez 1/3 de retour du bord du cercle extérieur, puis dessinez votre nouveau cercle. Il devrait être tangent à tous les trois cercles environnants.

Image intitulée Créer un joint Apollonien Étape 9

7. Continuer dans cette mode pour continuer à ajouter des cercles. Parce qu`ils sont des fractales, les joints Apolloniens sont infiniment complexes. Cela signifie que vous pouvez ajouter des cercles plus petits et plus petits au contenu de votre cœur. Vous n`êtes limité que la précision de vos outils (ou, si vous utilisez un ordinateur, la capacité de votre programme de dessin à "agrandir"). Chaque cercle, peu importe la petite, devrait être tangente à trois autres cercles. Pour dessiner chaque cercle suivant dans votre joint, branchez les courbures des trois cercles qu`il sera tangente dans le théorème descartes. Ensuite, utilisez votre réponse (qui sera le rayon de votre nouveau cercle) pour dessiner votre nouveau cercle avec précision.

Notez que le joint que nous avons choisi de dessiner est symétrique, de sorte que le rayon d`un cercle est le même que le cercle correspondant "en face de celui-ci". Cependant, sachez que tous les joints apolloniens sont symétriques.

Abordons un autre exemple. Disons que, après avoir dessiné notre dernier ensemble de cercles, nous voulons maintenant dessiner les cercles tangents à notre troisième ensemble, notre deuxième ensemble et notre grand cercle extérieur. Les courbures de ces cercles sont 3, 2 et -1, respectivement. Branchons ces chiffres dans le théorème de Descartes, définissant A = -1, B = 2 et C = 3:

D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A)))

D = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))

D = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (-2 + 6 + -3))

D = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (1))

D = -1 + 2 + 3 ± 2

d = 2, 6. Nous avons deux réponses! Cependant, parce que nous savons que notre nouveau cercle sera plus petit que l`un des cercles qu`il est tangente, seule une courbure de 6 (et donc un rayon de 1/6) logique.

Notre autre réponse, 2, fait effectivement référence au cercle hypothétique sur le autre côté du point tangent de nos deuxième et troisième cercles. Ce cercle est tangente à ces deux cercles et au grand cercle externe, mais cela intersecterait les cercles que nous avons déjà dessinés, afin que nous puissions le négliger.

Image intitulée Créer un joint Apollonien Étape 10

8. Pour un défi, essayez de créer un joint apollonien non symétrique en modifiant la taille de votre deuxième cercle. Tous les joints Apolloniens commencent le même - avec un grand cercle extérieur qui agit comme le bord de la fractale. Cependant, il n`y a aucune raison que votre deuxième cercle nécessairement nécessairement possède avoir 1/2 le rayon du premier - nous avons juste choisi de faire cela ci-dessus car c`est simple et facile à comprendre. Pour le plaisir, essayez de commencer un nouveau joint avec un deuxième cercle de taille différente - cela conduira à d`autres voies d`exploration d`Excience.

Après avoir dessiné votre deuxième cercle (quelle que soit sa taille), votre prochain acte doit être de dessiner un ou plusieurs cercles qui sont tangent à la fois et au grand cercle extérieur - il n`y a pas de bonne façon de le faire, soit. Après cela, vous pouvez utiliser le théorème de Descartes pour déterminer les rayons de tout cercles ultérieurs, comme indiqué ci-dessus.

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