4 façons de trouver n`importe quel terme d`une séquence arithmétique

Une séquence arithmétique est une liste de nombres qui diffèrent, d`un à l`autre, par une quantité constante. Par exemple, la liste des nombres pairs, $0, 2, 4, 6, 8$ $0,2,4,6,8$ ... est une séquence arithmétique, car la différence d`un numéro de la liste à la prochaine est toujours 2. Si vous savez que vous travaillez avec une séquence arithmétique, vous pouvez être invité à trouver le très prochain terme d`une liste donnée. Vous pouvez également être invité à remplir un espace où il manque un terme. Enfin, vous voudrez peut-être savoir, par exemple, le 100ème terme, sans écrire tous les 100 termes. Quelques étapes simples peuvent vous aider à faire l`un de ces.

Pas

Méthode 1 de 4:

Trouver le terme suivant dans une séquence arithmétique

1. Trouver la différence commune pour la séquence. Lorsque vous êtes présenté avec une liste de numéros, on peut vous dire que la liste est une séquence arithmétique, ou vous devrez peut-être comprendre cela. La première étape est la même dans les deux cas. Sélectionnez les deux premiers termes consécutifs de la liste. Soustrayez le premier terme du second terme. Le résultat est la différence courante de votre séquence.

Par exemple, supposons que vous ayez la liste $1, 4, 7, dix, 13$ $1,4,7,10,13$ .... Soustraire $4 - 1$ $4-1$ trouver la différence commune de 3.
Supposons que vous ayez une liste de termes qui diminue, comme $25, 21, 17, 13$ $25,21,17,13$ ... Vous soustrayez toujours le premier terme de la seconde pour trouver la différence. Dans ce cas, cela vous donne $21 - 25 Englisons - 4$ $21-25 = -4$ . Le résultat négatif signifie que votre liste diminue lorsque vous lisez de gauche à droite. Vous devriez toujours vérifier que le signe de la différence correspond à la direction que les chiffres semblent aller.

Image intitulée Trouvez tout terme d`une séquence arithmétique étape 2

2. Vérifiez que la différence commune est cohérente. Trouver la différence commune pour les deux premiers termes ne garantit pas que votre liste est une séquence arithmétique. Vous devez vous assurer que la différence est cohérente pour toute la liste. Vérifiez la différence en soustrayant deux termes consécutifs différents dans la liste. Si le résultat est cohérent pour une ou deux autres paires de termes, vous avez probablement une séquence arithmétique.

Travailler avec le même exemple,

1, 4, 7, dix, 13

$1,4,7,10,13$ ... Choisissez les deuxième et troisième termes de la liste. Soustraire

7 - 4

$7-4$ , et vous trouvez que la différence est toujours 3. Pour confirmer, vérifier un autre exemple et soustraire

13 - dix

$13-10$ , et vous constatez que la différence est systématiquement 3. Vous pouvez être sûr que vous travaillez avec une séquence arithmétique.

Il est possible que la liste de chiffres semble être une séquence arithmétique basée sur les premiers termes, puis échouera après cela. Par exemple, considérez la liste

1, 2, 3, 6, 9

$1,2,3,6,9$ ... La différence entre les premier et deuxième termes est de 1, et la différence entre les deuxième et troisième termes est également 1. Cependant, la différence entre les troisième et quatrième termes est de 3. Parce que la différence n`est pas courante pour toute la liste, ce n`est pas une séquence arithmétique.

Image intitulée Trouvez tout terme d`une séquence arithmétique étape 3

3. Ajouter la différence commune au dernier terme donné. Trouver la prochaine durée d`une séquence arithmétique après votre connaissance de la différence commune est facile. Ajoutez simplement la différence commune à la dernière durée de la liste et vous obtiendrez le numéro suivant.

Par exemple, dans l`exemple de

1, 4, 7, dix, 13

$1,4,7,10,13$ ..., pour trouver le numéro suivant dans la liste, ajoutez la différence commune de 3 au dernier terme donné. Ajouter

13 + 3

$13 + 3$ résulte en 16 ans, qui est le terme suivant. Vous pouvez continuer à ajouter 3 pour rendre votre liste aussi longtemps que vous le souhaitez. Par exemple, la liste serait

1, 4, 7, dix, 13, 16, 19, 22, 25

$1,4,7,0,13,19,19,22,25$ ... Vous pouvez faire cela aussi longtemps que vous le souhaitez.

Méthode 2 sur 4:

Trouver un terme interne manquant

1. Vérifiez que vous commencez par une séquence arithmétique. Dans certains cas, vous pouvez avoir une liste de chiffres avec un terme manquant au milieu. Commencer, comme auparavant, en vérifiant que votre liste est une séquence arithmétique. Sélectionnez deux termes consécutifs et trouvez la différence entre eux. Ensuite, vérifiez cela contre deux autres termes consécutifs de la liste. Si les différences sont les mêmes, vous pouvez présumer que vous travaillez avec une séquence arithmétique et continuez.

Par exemple, supposons que vous ayez la liste $0, 4$ $0,4$ ,___, $12, 16, 20$ $12,16,20$ ... Commencer par soustraire $4 - 0$ $4-0$ trouver une différence de 4. Vérifiez cela contre deux autres termes consécutifs, tels que $16 - 12$ $16-12$ . La différence est à nouveau 4. Vous pouvez le faire - vous pouvez y aller.

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2. Ajouter la différence commune au terme avant l`espace. Ceci est similaire à ajouter un terme à la fin d`une séquence. Trouvez le terme qui précède immédiatement l`espace dans votre séquence. C`est le "dernier" nombre que vous connaissez. Ajoutez votre différence commune à ce terme, pour trouver le nombre qui devrait remplir l`espace.

Dans notre exemple de travail,

0, 4

$0,4$ ,____,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., le terme précédant l`espace est 4, et notre différence commune pour cette liste est également 4. Alors ajoutez

4 + 4

$4 + 4$ obtenir 8, ce qui devrait être le nombre dans l`espace vide.

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3. Soustrayez la différence commune du terme suivant l`espace. Pour être sûr que vous avez la bonne réponse, vérifiez de l`autre sens. Une séquence arithmétique doit être cohérente dans l`une ou l`autre sens. Si vous passez de gauche à droite et ajoutez 4, puis allez dans la direction opposée, de droite à gauche, vous feriez le contraire et soustrayez 4.

Dans l`exemple de travail,

0, 4

$0,4$ ,___,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., le terme immédiatement après l`espace est 12. Soustrayez la différence commune de 4 de ce terme pour trouver

12 - 4 Englisons 8

$12-4 = 8$ . Le résultat de 8 devrait remplir l`espace vide.

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4. Comparez vos résultats. Les deux résultats que vous obtenez, de l`addition du bas ou de la soustraction du haut de la somme. S`ils le font, vous avez trouvé la valeur pour le terme manquant. S`ils ne le font pas, alors vous devez vérifier votre travail. Vous n`avez peut-être pas une véritable séquence arithmétique.

Dans l`exemple de travail, les deux résultats de

4 + 4

$4 + 4$ et

12 - 4

$12-4$ les deux ont donné la solution de 8. Par conséquent, le terme manquant dans cette séquence arithmétique est 8. La séquence complète est

0, 4, 8, 12, 16, 20

$0,4,8,12,16,20$ ...

Méthode 3 sur 4:

Trouver le nième terme d`une séquence arithmétique

1. Identifier le premier terme de la séquence. Toutes les séquences ne commencent pas avec les chiffres 0 ou 1. Regardez la liste des chiffres que vous avez et trouvez le premier terme. Ceci est votre point de départ, qui peut être désigné à l`aide de variables comme (1).

Il est courant de travailler avec des séquences arithmétiques d`utiliser la variable A (1) pour désigner le premier terme d`une séquence. Vous pouvez bien sûr choisir toute variable que vous aimez, et les résultats doivent être les mêmes.
Par exemple, étant donné la séquence $3, 8, 13, 18$ $3,8,13,18$ ..., le premier terme est $3$ $3$ , qui peut être désigné algébriquement comme un (1).

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2. Définissez votre différence commune comme D. Trouvez la différence commune pour la séquence comme avant. Dans cet exemple de travail, la différence commune est

8 - 3

$8-3$ , qui est 5. Vérifier avec d`autres termes dans la séquence fournit le même résultat. Nous allons noter cette différence commune avec la variable algébrique D.

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3. Utilisez la formule explicite. Une formule explicite est une équation algébrique que vous pouvez utiliser pour trouver n`importe quel terme d`une séquence arithmétique, sans avoir à rédiger la liste complète. La formule explicite pour une séquence algébrique est

une (n) Englisons une (1) + (n - 1) ré

$A (N) = A (1) + (N-1) D$ .

Le terme A (N) peut être lu comme "le nième terme d`un", où n représente le numéro de la liste que vous souhaitez trouver et une (n) est la valeur réelle de ce numéro. Par exemple, si vous êtes invité à trouver le 100e article dans une séquence arithmétique, alors n sera 100. Notez que n est 100, dans cet exemple, mais a (n) sera la valeur du 100e trimestre, pas le numéro 100 lui-même.

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4. Remplissez vos informations pour résoudre le problème. Utilisation de la formule explicite pour votre séquence, remplissez les informations que vous connaissez pour trouver le terme dont vous avez besoin.

Par exemple, dans l`exemple de travail

3, 8, 13, 18

$3,8,13,18$ ..., nous savons qu`un (1) est le premier terme 3 et la différence commune D est 5. Supposons que vous soyez invité à trouver le 100e mandat dans cette séquence. Puis n = 100, et (n-1) = 99. La formule explicite complète, avec les données remplies, est alors

une (100) Englisons 3 + (99) (5)

$A (100) = 3 + (99) (5)$ . Cela simplifie à 498, qui est le 100ème mandat de cette séquence.

Méthode 4 sur 4:

Utilisation de la formule explicite pour trouver des informations supplémentaires

1. Réorganiser la formule explicite pour résoudre les autres variables. En utilisant la formule explicite et une algèbre de base, vous pouvez trouver plusieurs informations sur une séquence arithmétique. Dans sa forme originale,

une (n) Englisons une (1) + (n - 1) ré

$A (N) = A (1) + (N-1) D$ , La formule explicite est conçue pour résoudre pour un_n et vous donner le nième terme d`une séquence. Cependant, vous pouvez manipuler algébrique cette formule et résoudre les variables.

Par exemple, supposons que vous ayez la fin d`une liste de chiffres, mais vous devez savoir quel était le début de la séquence. Vous pouvez réorganiser la formule pour vous donner $une (1) Englisons une (n) - (n - 1) ré$ ${ displaystyle A (1) = A (N) - (N-1) D}$
Si vous connaissez le point de départ d`une séquence arithmétique et son point de fin, mais vous devez savoir combien de termes figurent dans la liste, vous pouvez réorganiser la formule explicite pour résoudre pour n. Ce serait $n Englisons une (n) - une (1) ré + 1$ $n = { frac {a (n) -a (1)} {d}} + 1$ .
Si vous devez examiner les règles de base de l`algèbre pour créer ce résultat, consultez Apprendre l`algèbre ou alors Simplifier les expressions algébriques.

Image intitulée Trouvez tout terme d`une séquence arithmétique étape 13

2. Trouver le premier terme d`une séquence. Vous savez peut-être que le 50ème mandat d`une séquence arithmétique est de 300, et vous savez que les termes ont augmenté de 7 (la "différence commune"), mais vous voulez savoir ce que le premier mandat de la séquence était. Utilisez la formule explicite révisée qui résout A1 pour trouver votre réponse.

Utiliser l`équation

une (1) Englisons (n - 1) ré - une (n)

$A (1) = (N-1) D-A (n)$ , et remplir les informations que vous connaissez. Puisque vous savez que le 50ème mandat est 300, puis n = 50, N-1 = 49 et A (n) = 300. Vous êtes également donné que la différence commune, D, est 7. Par conséquent, la formule devient

une (1) Englisons (49) (7) - 300

$a (1) = (49) (7) -300$ . Cela fonctionne à

343 - 300 Englisons 43

$343-300 = 43$ . La séquence que vous avez commencé à 43 et compté par 7. Par conséquent, il ressemble à 43,50 57,64,71,78 ... 293 300.

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3. Trouver la longueur d`une séquence. Supposons que vous sachiez tout sur le début et la fin d`une séquence arithmétique, mais vous devez savoir combien de temps il est. Utilisez la formule révisée

n Englisons une (n) - une (1) ré + 1

$n = { frac {a (n) -a (1)} {d}} + 1$ .

Supposons que vous sachiez qu`une séquence arithmétique donnée commence à 100 et augmente de 13. On vous dit également que le terme final est de 2 856. Pour trouver la longueur de la séquence, utilisez les termes A1 = 100, D = 13 et A (n) = 2856. Insérer ces termes dans la formule à donner

n Englisons 2856 - 100 13 + 1

$n = { frac {2856-100} {13}} + 1$ . Si vous travaillez cela, vous obtenez

n Englisons \frac{2756}{13} + 1

$n = { frac {2756} {13}} + 1$ , qui est égal à 212 + 1, qui est 213. Il y a 213 termes dans cette séquence.

Cette séquence d`échantillons ressemblerait à 100, 113, 126, 139 ... 2843, 2856.

Mises en garde

Il existe différents types de séquences de nombres. Ne présumez pas qu`une liste de chiffres est une séquence arithmétique. Vérifiez toujours au moins deux paires de termes, ou de préférence trois ou quatre pour trouver la différence commune entre les termes.