Comment différencier les fonctions exponentielles

Les fonctions exponentielles constituent une catégorie spéciale de fonctions impliquant des exposants variables ou fonctions. En utilisant certaines des règles de base du calcul, vous pouvez commencer par trouver la dérivée d`une fonction de base comme $une X$ $A ^ {x}$ . Cela fournit ensuite une forme que vous pouvez utiliser pour toute base numérique élevée à un exposant variable. Élargir ce travail, vous pouvez également trouver la dérivée des fonctions où l`exposant est lui-même une fonction. Enfin, vous verrez comment différencier la "Tour électrique", une fonction spéciale dans laquelle l`exposant correspond à la base.

Pas

Partie 1 de 4:

Différenciant les fonctions exponentielles générales

1. Commencer par une fonction exponentielle générale. Commencez par une fonction exponentielle de base à l`aide d`une variable comme base. En calculant la dérivée de la fonction générale de cette manière, vous pouvez utiliser la solution comme modèle pour une famille complète de fonctions similaires.

$toi Englisons une X$ $y = a ^ {{x}}$

2. Prenez le logarithme naturel des deux côtés. Vous devez manipuler la fonction pour trouver un dérivé standard en termes de variable

X

$X$ . Cela commence par prendre le logarithme naturel des deux côtés, comme suit:

\ln toi Englisons \ln une X

$ln y = ln a ^ {{x}}$

3. Éliminer l`exposant. Utilisation des règles de logarithmes, cette équation peut être simplifiée pour éliminer l`exposant. L`exposant dans la fonction LOGARITHM peut être supprimé en tant que multiple devant le logarithme, comme suit:

\ln toi Englisons X \ln une

$ln y = x ln a$

4. Différencier les deux côtés et simplifier. La prochaine étape consiste à différencier de chaque côté par rapport à

X

$X$ . Parce que

une

$une$ est une constante, alors

\ln une

$ln a$ est aussi une constante. La dérivée de

X

$X$ simplifie à 1, et le terme disparaît. Les étapes sont les suivantes:

\ln toi Englisons X \ln une

$ln y = x ln a$

ré ré X \ln toi Englisons ré ré X X \ln une

${ frac {d} {dx}} ln y = { frac {d} {dx}} x ln a$

\frac{1}{toi} ré toi ré X Englisons \ln une ré ré X X

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a { frac {d} {dx}} x$

\frac{1}{toi} ré toi ré X Englisons \ln une * 1

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a * 1$

\frac{1}{toi} ré toi ré X Englisons \ln une

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a$

5. Simplifier pour résoudre pour le dérivé. Multiplier les deux côtés par Y pour isoler le dérivé. En utilisant des étapes de base de l`algèbre, multipliez les deux côtés de cette équation par

toi

$toi$ . Cela isolera la dérivée de

toi

$toi$ sur le côté gauche de l`équation. Puis rappeler que

toi Englisons une X

$y = a ^ {x}$ , donc substituer cette valeur sur le côté droit de l`équation. Les étapes ressemblent à ceci:

\frac{1}{toi} ré toi ré X Englisons \ln une

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a$

ré toi ré X Englisons toi \ln une

${ frac {dy} {dx}} = y ln a$

ré toi ré X Englisons {une}^{X} \ln une

${ frac {dy} {dx}} = a ^ {x} ln a$

6. Interpréter le résultat final. Rappelant que la fonction d`origine était la fonction exponentielle

toi Englisons une X

$y = a ^ {x}$ , Cette solution montre que la dérivée de la fonction exponentielle générale est

une X \ln une

$a ^ {x} ln a$ .

Cela peut être élargi pour toute valeur de

une

$une$ , Comme dans les exemples suivants:

ré ré X 2^{X} Englisons 2^{X} \ln 2

${ frac {d} {dx}} 2 ^ {x} = 2 ^ {x} ln 2$

ré ré X 3^{X} Englisons 3^{X} \ln 3

${ frac {d} {dx}} 3 ^ {x} = 3 ^ {x} ln 3$

ré ré X {dix}^{X} Englisons {dix}^{X} \ln dix

${ frac {d} {dx}} 10 ^ {x} = 10 ^ {x} ln 10$

Partie 2 de 4:

Étendre la preuve pour le dérivé de e

1. Choisissez l`exemple spécial. La section antérieure a montré comment différencier le cas général d`une fonction exponentielle avec n`importe quelle constante comme base. Ensuite, sélectionnez le cas particulier où la base est la constante exponentielle

e

$e$ .

$e$ $e$ est la constante mathématique qui est approximativement égale à 2.718.
Pour cette dérivation, sélectionnez la fonction spéciale $toi Englisons e X$ $y = e ^ {x}$ .

2. Utilisez la preuve de la dérivée générale de la fonction exponentielle. Rappeler, de la section antérieure, que le dérivé d`une fonction exponentielle générale

une X

$A ^ {x}$ est

une X \ln une

$a ^ {x} ln a$ . Appliquer ce résultat à la fonction spéciale

e X

$e ^ {x}$ comme suit:

toi Englisons e X

$y = e ^ {x}$

ré toi ré X Englisons ré ré X e^{X}

${ frac {dy} {dx}} = { frac {d} {dx}} e ^ {x}$

ré toi ré X Englisons e^{X} \ln e

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e$

3. Simplifier le résultat. Rappeler que le logarithme naturel est basé sur la constante spéciale

e

$e$ . Par conséquent, le logarithme naturel de

e

$e$ est juste 1. Cela simplifie le résultat dérivé comme suit:

ré toi ré X Englisons e^{X} \ln e

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e$

ré toi ré X Englisons e^{X} * 1

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} * 1$

ré toi ré X Englisons e^{X}

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x}$

4. Interpréter le résultat final. Cette preuve conduit au cas particulier que le dérivé de la fonction

e X

$e ^ {x}$ est-ce que très fonction elle-même. Ainsi:

ré ré X e^{X} Englisons e^{X}

${ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}$

Partie 3 sur 4:

Trouver la dérivée de E avec un exposant fonctionnel

1. Définir votre fonction. Pour cet exemple, vous trouverez le dérivé général des fonctions qui ont

e

$e$ élevé à un exposant, lorsque l`exposant lui-même est fonction de

X

$X$ .

À titre d`exemple, considérez la fonction $toi Englisons e 2 X + 3$ $y = e ^ {{2x + 3}}$ .

2. Définir la variable toi { displaystyle u} $toi$ . Cette solution va impliquer la règle de la chaîne des dérivés. Rappeler que la règle de la chaîne s`applique lorsque vous avez une seule fonction,

toi (X)

$u (x)$ imbriqué à l`intérieur d`un autre,

F (X)

$f (x)$ , Comme vous avez ici. La règle de la chaîne indique:

ré toi ré X Englisons ré toi ré toi * ré toi ré X

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

En résumé, vous définirez l`exposant comme une fonction distincte

toi (X)

$u (x)$ .

Pour cet exemple, l`exposant est la fonction imbriquée

toi (X)

$u (x)$ . Ainsi, pour cet exemple:

toi Englisons e toi

$y = e ^ {u}$ , et

toi Englisons 2 X + 3

$u = 2x + 3$

3. Appliquer la règle de la chaîne. La règle de la chaîne nécessite que vous trouviez les dérivés des deux fonctions

toi

$toi$ et

toi

$toi$ . Le dérivé résultant est alors le produit de ces deux.

Les deux dérivés distincts sont:

ré toi ré toi Englisons ré ré toi e^{toi} Englisons e^{toi}

${ displaystyle { frac {dy} {du}} = { frac {d} {du}} e ^ {u} = e ^ {u}}$ . (Rappelez-vous que la dérivée de

e X

$e ^ {x}$ est

e X

$e ^ {x}$ .)

ré toi ré X Englisons ré ré X (2 X + 3) Englisons 2

${ frac {du} {dx}} = { frac {d} {dx}} (2x + 3) = 2$

Après avoir trouvé les deux dérivés distincts, combinez-les pour trouver le dérivé de la fonction d`origine:

ré toi ré X Englisons ré toi ré toi * ré toi ré X

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

ré ré X e^{2 X + 3} Englisons e^{(2 X + 3)} * 2 Englisons 2 e^{(2 X + 3)}

${ frac {d} {dx}}} ^ {{2x + 3}} = e ^ {{(2x + 3)}} * 2 = 2e ^ {{(2x + 3)}}$

4. Pratiquez un autre exemple de e { displaystyle e} $e$ avec un exposant fonctionnel. Sélectionnez un autre exemple,

toi Englisons e péché X

$y = e ^ {{ sin x}}$ .

Définir la fonction imbriquée. Dans ce cas,

toi Englisons péché X

$u = sin x$ .

Trouver les dérivés des fonctions

toi

$toi$ et

toi

$toi$ .

ré toi ré toi Englisons e^{toi}

${ frac {dy} {du}} = e ^ {u}$

ré toi ré X Englisons car X

${ frac {du} {dx}} = cos x$

Combinez à l`aide de la section de la chaîne:

toi Englisons e péché X

$y = e ^ {{ sin x}}$

ré toi ré X Englisons ré toi ré toi * ré toi ré X

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

ré ré X e^{péché X} Englisons e^{toi} * car X Englisons e^{péché X} car X

${ frac {d} {dx}}} ^ {{ sin x}} = e ^ {u} * cos x = e ^ {{ sin x}} cos x x$

Partie 4 sur 4:

Trouver la dérivée de x

1. Définir la fonction. Pour cet exemple spécial, parfois appelé «tour de puissance», choisissez la fonction telle que:

$toi Englisons X X$ $y = x ^ {x}$

2. Trouvez le logarithme naturel de chaque côté. Comme avant, la solution ici commence par le logarithme naturel de chaque côté de l`équation:

\ln toi Englisons \ln (X X)

$ln y = ln (x ^ {x})$

\ln toi Englisons X \ln X

$ln y = x ln x$

3. Prenez le dérivé de chaque côté de l`équation. Sur le côté droit de cette équation, vous devrez appliquer la règle de produits des dérivés. Rappeler que la règle du produit indique que si