Comment trouver l`inverse d`une matrice 3x3

Les opérations inverse sont couramment utilisées dans l`algèbre pour simplifier ce qui pourrait être difficile. Par exemple, si un problème nécessite que vous divisez par une fraction, vous pouvez plus facilement se multiplier par son réciproque. Ceci est une opération inverse. De même, comme il n`y a pas d`opérateur de division pour les matrices, vous devez multiplier par la matrice inverse. Calculer l`inverse d`une matrice 3x3 à la main est un travail fastidieux, mais il convient d`être examiné. Vous pouvez également trouver l`inverse à l`aide d`une calculatrice de graphique avancée.

Pas

Méthode 1 de 3:
Création de la matrice d`adturée pour trouver la matrice inverse
  1. Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Étape 1
1. Vérifiez le déterminant de la matrice. Vous devez calculer le déterminant de la matrice comme une étape initiale. Si le déterminant est 0, votre travail est terminé, car la matrice n`a pas d`inverse. Le déterminant de la matrice m peut être représenté symboliquement comme détecteur (m).
  • Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Étape 2
    2. Transposer la matrice d`origine. Des moyens de transposition reflétant la matrice autour de la diagonale principale, ou de manière équivalente, échangeant le (i, j) e élément et le (j, i) th. Lorsque vous transposez les termes de la matrice, vous devriez voir que la diagonale principale (du haut gauche à droite à droite) est inchangée.
  • Une autre façon de penser à la transposition est que vous réécrivez la première ligne comme première colonne, la rangée du milieu devient la colonne du milieu et la troisième ligne devient la troisième colonne. Remarquez les éléments colorés dans le diagramme ci-dessus et voyez où les chiffres ont changé de position.
  • Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Étape 3
    3. Trouvez le déterminant de chacune des matrices mineures 2x2. Chaque élément de la matrice 3x3 nouvellement transposé est associé à une matrice 2x2 "mineure" correspondante. Pour trouver la bonne matrice mineure pour chaque terme, montrez d`abord la ligne et la colonne du terme que vous commencez avec. Cela devrait inclure cinq termes de la matrice. Les quatre termes restants constituent la matrice mineure.
  • Dans l`exemple présenté ci-dessus, si vous souhaitez la matrice mineure du terme de la deuxième ligne, première colonne, vous mettez en surbrillance les cinq termes situés dans la deuxième rangée et la première colonne. Les quatre termes restants sont la matrice mineure correspondante.
  • Trouvez le déterminant de chaque matrice mineure en multipliant les diagonales et en soustrayant, comme indiqué.
  • Pour plus d`informations sur les matrices mineures et leurs utilisations, voir Comprendre les bases des matrices.
  • Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Étape 4
    4. Créer la matrice de cofacteurs. Placez les résultats de l`étape précédente dans une nouvelle matrice de cofacteurs en alignant chaque déterminant de matrice mineur avec la position correspondante dans la matrice d`origine. Ainsi, le déterminant que vous avez calculé à partir de l`élément (1,1) de la matrice d`origine passe en position (1,1). Vous devez ensuite inverser le signe des termes alternatifs de cette nouvelle matrice, après le modèle "Damier" indiqué.
  • Lors de l`attribution de signes, le premier élément de la première ligne conserve son signe d`origine. Le deuxième élément est inversé. Le troisième élément garde son signe d`origine. Continuez avec le reste de la matrice de cette mode. Notez que le (+) ou (-) signe dans le diagramme de damier ne suggère pas que le terme final doit être positif ou négatif. Ce sont des indicateurs de maintien (+) ou de renverser (-) tout ce que le numéro avait à l`origine.
  • Pour un examen des cofacteurs, voir Comprendre les bases des matrices.
  • Le résultat final de cette étape s`appelle la matrice de résidence de l`original. Ceci est parfois appelé matrice adjoint. La matrice d`additionnement est notée sous forme d`adj (m).
  • Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Étape 5
    5. Diviser chaque terme de la matrice d`additionnement par le déterminant. Rappeler le déterminant de m que vous avez calculé dans la première étape (pour vérifier que l`inverse était possible). Vous divisez maintenant chaque terme de la matrice par cette valeur. Placez le résultat de chaque calcul dans la tache du terme d`origine. Le résultat est l`inverse de la matrice d`origine.
  • Pour la matrice d`échantillonnage montrée dans le diagramme, le déterminant est 1. Par conséquent, la division de chaque terme de la matrice d`additionnement entraîne la matrice d`additionnement elle-même. (Vous ne serez pas toujours aussi chanceux.)
  • Au lieu de diviser, certaines sources représentent cette étape pour multiplier chaque terme de m par 1 / det (m). Mathématiquement, ce sont des équivalents.
    • Méthode 2 de 3:
    Utilisation de la réduction de la ligne linéaire pour trouver la matrice inverse
    1. Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Étape 6
    1. Adjoin de la matrice d`identité à la matrice d`origine. Écrivez la matrice d`origine M, dessinez une ligne verticale à droite, puis écrivez la matrice d`identité à droite de celle-ci. Vous devriez maintenant avoir ce qui semble être une matrice avec trois rangées de six colonnes chacune.
    • Rappelez-vous que la matrice d`identité est une matrice spéciale avec 1S dans chaque position de la diagonale principale de la partie supérieure gauche à droite à droite, et 0 à toutes les autres positions. Pour un examen de la matrice d`identité et de ses propriétés, voir Comprendre les bases des matrices.
  • Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Étape 7
    2. Effectuer des opérations de réduction des lignes linéaires. Votre objectif est de créer la matrice d`identité sur le côté gauche de cette matrice nouvellement augmentée. Lorsque vous effectuez des étapes de réduction des lignes à gauche, vous devez effectuer régulièrement les mêmes opérations à droite, qui a commencé comme matrice d`identité.
  • N`oubliez pas que les réductions de la ligne sont effectuées comme une combinaison de multiplication scalaire et d`addition de lignes ou de soustraction, afin d`isoler les termes individuels de la matrice. Pour une critique plus complète, voir Matrices de réduction des lignes.
  • Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Étape 8
    3. Continuez jusqu`à ce que vous formiez la matrice d`identité. Continuez à répéter les opérations de réduction de la ligne linéaire jusqu`à ce que le côté gauche de votre matrice augmentée affiche la matrice d`identité (diagonale de 1s, avec d`autres termes 0). Lorsque vous avez atteint ce point, le côté droit de votre diviseur vertical sera l`inverse de votre matrice d`origine.
  • Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Étape 9
    4. Écrivez la matrice inverse. Copier les éléments apparaissant maintenant sur le côté droit du diviseur vertical comme matrice inverse.
    • Méthode 3 sur 3:
    Utilisation d`une calculatrice pour trouver la matrice inverse
    1. Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Étape 10
    1. Sélectionnez une calculatrice avec des capacités matricielles. Des calculatrices simples à 4 fonctions ne seront pas en mesure de vous aider à trouver directement l`inverse. Cependant, en raison de la nature répétitive des calculs, une calculatrice graphique avancée, telle que les instruments Texas TI-83 ou TI-86, peuvent considérablement réduire le travail.
  • Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Étape 11
    2. Entrez votre matrice dans la calculatrice. Tout d`abord, entrez la fonction Matrix de votre calculatrice en appuyant sur la touche Matrix, si vous en avez un. Sur les calculatrices de Texas Instruments, vous devrez peut-être appuyer sur 2 matrices.
  • Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 étape 12
    3. Sélectionnez le sous-menu Edition. Pour atteindre le sous-menu, vous devrez peut-être utiliser les boutons fléchés ou choisir la touche de fonction appropriée en haut du clavier de votre calculatrice, en fonction de la mise en page de votre calculatrice.
  • Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Étape 13
    4. Sélectionnez un nom pour votre matrice. La plupart des calculatrices sont équipées pour travailler avec n`importe où de 3 à 10 matrices, étiquetées avec des lettres A à J. Typiquement, choisissez simplement [A] travailler avec. Appuyez sur la touche Entrée après avoir effectué votre sélection.
  • Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Step 14
    5. Entrez les dimensions de votre matrice. Cet article se concentre sur 3x3 matrices. Cependant, la calculatrice peut gérer des tailles plus grandes. Entrez le nombre de lignes, puis appuyez sur ENTER, puis sur le nombre de colonnes et entrez.
  • Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Étape 15
    6. Entrez chaque élément de la matrice. L`écran de calculatrice affichera une matrice. Si vous travailliez auparavant avec la fonction Matrix, la matrice antérieure apparaîtra à l`écran. Le curseur mettra en évidence le premier élément de la matrice. Tapez la valeur de la matrice que vous souhaitez résoudre, puis entrez. Le curseur se déplacera automatiquement vers l`élément suivant de la matrice, écrasant tous les numéros précédents.
  • Si vous souhaitez entrer un numéro négatif, utilisez le bouton négatif de votre calculatrice (-) et non la clé moins. La fonction matricielle ne lit pas le numéro correctement.
  • Si nécessaire, vous pouvez utiliser les touches fléchées de votre calculatrice pour sauter autour de la matrice.
  • Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Étape 16
    7. Quitter la fonction matricielle. Une fois que vous avez entré toutes les valeurs de la matrice, appuyez sur la touche QuIT (ou 2 Quittez, si nécessaire). Cela vous quittera de la fonction Matrix et vous retournera à l`écran d`affichage principal de votre calculatrice.
  • Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Étape 17
    8. Utilisez la touche inverse pour trouver la matrice inverse. Premièrement, rouvrez la fonction matricielle et utilisez le bouton Noms pour sélectionner l`étiquette matricielle que vous avez utilisée pour définir votre matrice (probablement [A]). Ensuite, appuyez sur la touche inverse de votre calculatrice, X-1{ displaystyle x ^ {- 1}}x ^ {{- 1}}. Cela peut nécessiter d`utiliser le bouton 2, en fonction de votre calculatrice. Votre écran d`écran doit afficher UNE-1{ displaystyle a ^ {- 1}}A ^ {{- 1}}. Appuyez sur ENTER et la matrice inverse doit apparaître sur votre écran.
  • N`utilisez pas le bouton ^ de votre calculatrice pour essayer d`entrer dans une ^ -1 comme une frappe séparée. La calculatrice ne comprendra pas cette opération.
  • Si vous recevez un message d`erreur lorsque vous entrez la touche inverse, les chances sont que votre matrice d`origine n`a pas d`inverse. Vous voudrez peut-être revenir en arrière et calculer le déterminant pour savoir.
  • Image intitulée Trouver l`inverse d`une matrice 3x3 Étape 18
    9. Convertir votre matrice inverse en réponses exactes. Le premier calcul que la calculatrice vous donnera est sous forme décimale. Ceci n`est pas considéré comme "exact" à la plupart des fins. Vous devez convertir les réponses décimales en forme fractionnelle, si nécessaire. (Si vous avez beaucoup de chance, tous vos résultats seront des entiers, mais c`est rare.)
  • Votre calculatrice a probablement une fonction qui convertira automatiquement les décimales en fractions. Par exemple, à l`aide du TI-86, entrez la fonction mathématique, puis sélectionnez Divers, puis frac et entrez. Les décimales apparaîtront automatiquement sous forme de fractions.
  • Image intitulée Calculer le coût total de l`étape 1
    dix. La plupart des calculatrices graphiques ont également des touches de support carrées (sur TI-84, il est 2e + x et 2nd + -) qui peut être utilisé pour saisir une matrice sans utiliser la fonction matricielle. Remarque: la calculatrice ne formatera pas la matrice qu`après que la touche Entrée / Equals a été utilisée (i.e. Tout sera une ligne et pas jolie).

    • Vidéo

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    Conseils

    Vous pouvez suivre ces étapes pour trouver l`inverse d`une matrice contenant non seulement des chiffres, mais également des variables, des inconnues ou même des expressions algébraïques.
  • Vérifiez que votre résultat est précis, quelle que soit la méthode que vous choisissez, par multipliant M by m. Vous devriez être capable de vérifier que m * m = m * m = i. I est la matrice d`identité, composée de 1 à la diagonale principale et 0s ailleurs. Sinon, vous avez fait une erreur quelque part.
  • Notez toutes vos étapes car il est extrêmement difficile de trouver l`inverse d`une matrice 3x3 dans votre tête.
  • Des programmes informatiques existent qui élaborent les inverses de matrices pour vous, jusqu`à la taille des matrices 30x30.

    • Mises en garde

    Toutes les matrices 3x3 n`ont pas d`inverse. Si le déterminant de la matrice est égal à 0, il n`a pas d`inverse. (Notez que dans la formule que nous divisons par Det (m). Division par zéro n`est pas définie.)
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