Comment trouver l`angle entre deux vecteurs: 12 étapes

En mathématiques, un vecteur est n`importe quel objet qui a une longueur définissable, connue sous le nom de grandeur et une direction. Comme les vecteurs ne sont pas identiques à des lignes ou des formes standard, vous devrez utiliser des formules spéciales pour trouver des angles entre eux.

Pas

Partie 1 de 2:

Trouver l`angle entre deux vecteurs

1. Notez la formule de cosinus. Pour trouver l`angle θ entre deux vecteurs, commencez par la formule pour trouver le cosinus de cet angle. Vous pouvez en apprendre davantage sur cette formule ci-dessous ou simplement l`écrire:

cosθ = ( $\vec{toi}$ ${ wrowighighterarrow {u}}$ • $\vec{v}$ ${ wrowighighterarrow {v}}$ ) / (|| $\vec{toi}$ ${ wrowighighterarrow {u}}$ || || $\vec{v}$ ${ wrowighighterarrow {v}}$ ||)

\vec{toi}

${ wrowighighterarrow {u}}$ || moyens "la longueur du vecteur

\vec{toi}

${ wrowighighterarrow {u}}$ ."

\vec{toi}

${ wrowighighterarrow {u}}$ •

\vec{v}

${ wrowighighterarrow {v}}$ est le produit DOT (produit scalaire) des deux vecteurs, expliqué ci-dessous.

Image intitulée Trouver l`angle entre deux vecteurs étape 1

2. Identifier les vecteurs. Notez toutes les informations que vous avez concernant les deux vecteurs. Nous supposerons que vous n`avez que la définition du vecteur en termes de coordonnées dimensionnelles (également appelées composantes). Si vous connaissez déjà une longueur de vecteur (sa magnitude), vous pourrez sauter certaines des étapes ci-dessous.

Exemple: le vecteur bidimensionnel

\vec{toi}

${ wrowighighterarrow {u}}$ = (2,2). Vecteur

\vec{v}

${ wrowighightarrow {v}}$ = (0,3). Ceux-ci peuvent également être écrits comme

\vec{toi}

${ wrowighighterarrow {u}}$ = 2je + 2j et

\vec{v}

${ wrowighighterarrow {v}}$ = 0je + 3j = 3j.

Bien que notre exemple utilise des vecteurs bidimensionnels, les instructions ci-dessous couvrent des vecteurs avec n`importe quel nombre de composants.

Image intitulée Trouver l`angle entre deux vecteurs étape 3

3. Calculer la longueur de chaque vecteur. Imaginez un triangle droit dessiné du composant X du vecteur, de son composant Y et du vecteur lui-même. Le vecteur forme l`hypoténuse du triangle, afin de trouver sa longueur, nous utilisons le théorème Pythagore. Comme il s`avère, cette formule est facilement étendue aux vecteurs avec n`importe quel nombre de composants.

||toi|| = u₁ + toi₂. Si un vecteur a plus de deux composants, continuez simplement d`ajouter + u₃ + toi₄ + ...

Par conséquent, pour un vecteur bidimensionnel, ||toi|| = √ (u₁ + toi₂).

Dans notre exemple, ||

\vec{toi}

${ wrowighighterarrow {u}}$ || = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. ||

\vec{v}

${ wrowighighterarrow {v}}$ || = √ (0 + 3) = √ (9) = 3.

Image intitulée Trouvez l`angle entre deux vecteurs étape 4

4. Calculez le produit DOT des deux vecteurs. Vous avez probablement déjà appris cette méthode de multiplication de vecteurs, également appelée produit scalaire.

Pour calculer le produit DOT en termes de composants des vecteurs, multipliez les composants dans chaque direction ensemble, puis ajoutez tous les résultats.

Pour les programmes graphiques informatiques, voir Conseils avant de continuer.

Trouver un exemple de produit
En termes mathématiques, $\vec{toi}$ ${ wrowighighterarrow {u}}$ • $\vec{v}$ ${ wrowighightarrow {v}}$ = u₁v₁ + toi₂v₂, où u = (u₁, toi₂). Si votre vecteur a plus de deux composants, continuez simplement à ajouter + U₃v₃ + toi₄v₄...
Dans notre exemple, $\vec{toi}$ ${ wrowighighterarrow {u}}$ • $\vec{v}$ ${ wrowighightarrow {v}}$ = u₁v₁ + toi₂v₂ = (2) (0) + (2) (3) = 0 + 6 = 6. Ceci est le produit DOT du vecteur $\vec{toi}$ ${ wrowighighterarrow {u}}$ et $\vec{v}$ ${ wrowighighterarrow {v}}$ .

Image intitulée Trouvez l`angle entre deux vecteurs étape 5

5. Branchez vos résultats dans la formule. Rappelles toi,

cosθ = (

\vec{toi}

${ wrowighighterarrow {u}}$ •

\vec{v}

${ wrowighighterarrow {v}}$ ) / (||

\vec{toi}

${ wrowighighterarrow {u}}$ || ||

\vec{v}

${ wrowighightarrow {v}}$ ||).

Maintenant, vous connaissez à la fois le produit DOT et les longueurs de chaque vecteur. Entrez-les dans cette formule pour calculer le cosinus de l`angle.

Trouver des cosines avec du produit DOT et des longueurs de vecteur
Dans notre exemple, cosθ = 6 / (2√2

3) = 1 / √2 = √2 / 2.

Image intitulée Trouver l`angle entre deux vecteurs étape 6

6. Trouver l`angle en fonction du cosinus. Vous pouvez utiliser la fonction ArcCOS ou COS sur votre calculatrice pour

Trouver l`angle θ à partir d`une valeur COS θ connue.

Pour certains résultats, vous pourrez peut-être calculer l`angle en fonction de la cercle d`unité.

Trouver un angle avec cosinus
Dans notre exemple, cosθ = √2 / 2. Entrer "arccos (√2 / 2)" dans votre calculatrice pour avoir l`angle. En variante, trouvez l`angle θ sur le cercle de l`unité où COSθ = √2 / 2. C`est vrai pour θ = /₄ ou 45º.
Mettre tout ensemble, la formule finale est la suivante:
angle θ = arccosine (( $\vec{toi}$ ${ wrowighighterarrow {u}}$ • $\vec{v}$ ${ wrowighightarrow {v}}$ ) / (|| $\vec{toi}$ ${ wrowighighterarrow {u}}$ || || $\vec{v}$ ${ wrowighightarrow {v}}$ ||)))

Partie 2 de 2:

Définir la formule d`angle

1. Comprendre le but de cette formule. Cette formule n`a pas été dérivée des règles existantes. Au lieu de cela, il a été créé comme une définition du produit DOT de deux vecteurs et l`angle entre eux. Cependant, cette décision n`était pas arbitraire. En regardant la géométrie de base, nous pouvons voir pourquoi cette formule entraîne des définitions intuitives et utiles.

Les exemples ci-dessous utilisent des vecteurs bidimensionnels parce que ceux-ci sont les plus intuitifs à utiliser. Les vecteurs avec trois composants ou plus ont des propriétés définies avec la formule de cas générale très similaire.

Image intitulée Trouvez l`angle entre deux vecteurs étape 8

2. Examiner la loi des cosinus. Prendre un triangle ordinaire, avec angle θ entre les côtés A et B et le côté opposé C. La loi des cosinés indique que c = a + b -2abcar(θ). Ceci est dérivé assez facilement de la géométrie de base.

Image intitulée Trouvez l`angle entre deux vecteurs étape 9

3. Connectez deux vecteurs pour former un triangle. Esquisser une paire de vecteurs 2D sur papier, vecteurs

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ et

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ , avec angle θ entre eux. Dessinez un troisième vecteur entre eux pour faire un triangle. En d`autres termes, dessinez le vecteur

\vec{c}

${ wrowighightarrow {c}}$ tel que

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ +

\vec{c}

${ wrowighightarrow {c}}$ Englisons

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ . Ce vecteur

\vec{c}

${ wrowighightarrow {c}}$ Englisons

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ -

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ .

Image intitulée Trouver l`angle entre deux vecteurs étape 10

4. Écrivez la loi des cosinés pour ce triangle. Insérer la longueur de notre "triangle de vecteur" côtés dans la loi des cosinules:

||(un B)|| Englisons ||une|| + ||b|| - 2||une|| ||b||car(θ)

Image intitulée Trouver l`angle entre deux vecteurs étape 11

5. Ecrivez ceci en utilisant des produits DOT. N`oubliez pas que un produit DOT est le grossissement d`un vecteur projeté sur un autre. Le produit de points de vecteur avec elle-même n`exige aucune projection, car il n`y a pas de différence de direction. Cela signifie que

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ •

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ Englisons ||une||. Utilisez ce fait pour réécrire l`équation:

(

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ -

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ ) • (

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ -

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ ) =

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ •

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ +

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ •

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ - 2||une|| ||b||car(θ)

Image intitulée Trouver l`angle entre deux vecteurs étape 12

6. Réécrivez-le dans la formule familière. Développez le côté gauche de la formule, puis simplifiez pour atteindre la formule utilisée pour trouver des angles.

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ •

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ -

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ •

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ -

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ •

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ +

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ •

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ Englisons

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ •

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ +

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ •

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ - 2||une|| ||b||car(θ)

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ •

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ -

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ •

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ = -2||une|| ||b||car(θ)

-2 (

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ •

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ ) = -2||une|| ||b||car(θ)

\vec{une}

${ wrowighightarrow {a}}$ •

\vec{b}

${ wrowighightarrow {b}}$ Englisons ||une|| ||b||car(θ)

Vidéo.

En utilisant ce service, certaines informations peuvent être partagées avec YouTube.

Conseils

Pour une prise rapide et résoudre, utilisez cette formule pour une paire de vecteurs bidimensionnels: COSθ = (U₁ • v₁ + toi₂ • v₂) / (√ (U₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂))).

Si vous travaillez sur un programme graphique informatique, vous ne vous souciez probablement que de la direction des vecteurs, pas de leur longueur. Procédez comme suit pour simplifier les équations et accélérer votre programme:

Normaliser chaque vecteur donc la longueur devient 1. Pour ce faire, divisez chaque composant du vecteur par la longueur du vecteur.

Prenez le produit DOT des vecteurs normalisés au lieu des vecteurs d`origine.

Depuis la longueur égale 1, laissez les termes de longueur de votre équation. Votre équation finale pour l`angle est arccos (

\vec{toi}

${ wrowighighterarrow {u}}$ •

\vec{v}

${ wrowighighterarrow {v}}$ ).

Basé sur la formule de cosinus, nous pouvons rapidement rechercher si l`angle est aigu ou obtus. Commencez avec cosθ = (

\vec{toi}

${ wrowighighterarrow {u}}$ •

\vec{v}

${ wrowighighterarrow {v}}$ ) / (||

\vec{toi}

${ wrowighighterarrow {u}}$ || ||

\vec{v}

${ wrowighighterarrow {v}}$ ||):

Le côté gauche et les côtés droit de l`équation doivent avoir le même signe (positif ou négatif).

Étant donné que les longueurs sont toujours positives, Cosθ doit avoir le même signe que le produit DOT.

Par conséquent, si le produit DOT est positif, COSθ est positif. Nous sommes dans le premier quadrant du cercle de l`unité, avec θ < π / 2 ou 90º. L`angle est aigu.

Si le produit DOT est négatif, COSθ est négatif. Nous sommes dans le deuxième quadrant du cercle de l`unité, avec π / 2 < θ ≤ π ou 90º < θ ≤ 180º. L`angle est obtus.